原根(半转载)
原根定义:
设m是正整数,a是整数,若a模m的阶等于φ(m),则称a为模m的一个原根。(其中φ(m)表示m的欧拉函数)(from 51nod)
原根要求
k有原根当且仅当$k=2,4,p^a,2p^a$
其中p是奇素数,a是正整数
如何找模k的最小原根:
暴力枚举判断是不是满足条件。
判断算法:
(首先保证$\gcd(a,m)=1$)
暴力
假设要判断的数为s,判断2到$\phi(k)-1$中是否有一个正整数t满足$s^t\equiv 1(\mod k)$,如果有则不是,否则就是。
时间复杂度$O(\phi(k))$,其实就是$O(k)$
更快速的方法
设$x=\phi(k)$,对于每个x的素因数p判断$s^{\frac{x}{p}}\mod k$是否为1。如果是则s不是原根。如果都不是则s是原根。
感性理解吧。