AGC001D Arrays and Palindrome

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题意

给定一个长度为m的数组c($\sum c_i=n$),求两个数组$a,b$,使得:

  1. $\sum a_i=\sum b_i=n$,并且$a$是$c$的一个排列
  2. 满足对于任意字符串,如果前$a_1$个字符组成回文串,之后$a_2$个字符组成回文串,之后$a_3$个字符组成回文串……,并且前$b_1$个字符组成回文串,之后$b_2$个字符组成回文串,之后$b_3$个字符组成回文串……,则一定满足这个串所有字符是一样的。

题解

结论1 如果$c_i$中奇数个数>2,一定无解

证明:要求一个子串是回文串,相当于要求一些位置的字符是一样的。如果对要求一样的位置之间连边,那么要求所有字符一样相当于n个位置在同一个联通块内。那么至少要连n-1条边,总共2n-2个端点。

每个偶数长度的回文串每个点都会成为一条边的端点,但是奇数长度中间那个字符不会连边,就会少一个端点。

由于是两次划分,总共端点数不会超过2n,所以如果奇数长度的个数>2,显然边数会不够。

结论2 如果第1..n个字符组成回文串,且第1..n-1个/第2..n个字符组成回文串,那么显然这n个字符是一样的。

证明显然。

结论3 在n是奇数的情况下 如果第1..n-1个字符组成回文串,且第2..n个字符组成回文串,那么显然这n个字符是一样的。

证明:$S_1=S_{n-1}=S_3=S_{n-3}…=S_n=S_{2}$

根据3个结论,我们得到这样的做法:

在a中把奇数放在首位,然后b相对a,$b_1=a_1+1,b_m=a_m-1$,其它一样。

特别的,对于$m=1$的情况,拆成$1,a_1-1$。

证明?

首先前$b_1$个字符和后$a_m$个字符是一样的,然后对于任意$1 \lt i \lt m$,$b_i$和$a_i$限制的串长度都是偶数,并且位置差1,根据结论3成立。

写的时候注意最后是0的情况。

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/*
Author: CNYALI_LK
LANG: C++
PROG: d.cpp
Mail: cnyalilk@vip.qq.com
*/
#include<bits/stdc++.h>
#define debug(...) fprintf(stderr,__VA_ARGS__)
#define DEBUG printf("Passing [%s] in LINE %d\n",__FUNCTION__,__LINE__)
#define Debug debug("Passing [%s] in LINE %d\n",__FUNCTION__,__LINE__)
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define x first
#define y second
using namespace std;
const double eps=1e-8;
const double pi=acos(-1.0);
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
template<class T>int chkmin(T &a,T b){return a>b?a=b,1:0;}
template<class T>int chkmax(T &a,T b){return a<b?a=b,1:0;}
template<class T>T sqr(T a){return a*a;}
template<class T>T mmin(T a,T b){return a<b?a:b;}
template<class T>T mmax(T a,T b){return a>b?a:b;}
template<class T>T aabs(T a){return a<0?-a:a;}
template<class T>int dcmp(T a,T b){return a>b;}
template<int *a>int cmp_a(int x,int y){return a[x]<a[y];}
#define min mmin
#define max mmax
#define abs aabs
int read(){
int s=0;
int base=0;
char c;
while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')base=1;
while(isdigit(c)){s=s*10+(c^48);c=getchar();}
if(base)s=-s;
return s;
}
int a[102423];
int main(){
#ifdef cnyali_lk
freopen("d.in","r",stdin);
freopen("d.out","w",stdout);
#endif
int n,m,cntO=0;
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=m;++i)a[i]=read(),cntO+=a[i]&1;
if(cntO>2)printf("Impossible\n");
else{
for(int i=2;i<m;++i)
if(a[i]&1)if(a[1]&1){swap(a[i],a[m]);--i;}
else swap(a[i],a[1]);
for(int i=1;i<=m;++i)printf("%d%c",a[i],i==m?'\n':' ');
if(m==1)a[++m]=a[1],a[1]=0;
++a[1];
if(!--a[m])--m;

printf("%d\n",m);
for(int i=1;i<=m;++i)printf("%d%c",a[i],i==m?'\n':' ');
}
return 0;
}

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