agc010D Decrementing

题目

题解

获胜条件

显然当局面为$k,k,k\cdots k+1$的时候，先手必胜。

但是除了k=1的时候，或者开局的时候，对手都可以阻止这个局面。

那么获胜条件显然是拿到$1,1,1,1\cdots 2$的时候，此时有1个（奇数个）偶数。

显而易见，如果gcd为奇数的时候，所有数除以gcd后奇偶性不变。

分类讨论：

包含1

略。

奇数个偶数

如果有奇数个偶数，由于gcd=1，显然至少有一个奇数。

把其中一个偶数-1变成奇数，那么对手手里至少有2个奇数，显然不可能一步使得gcd为偶数。

那么对手怎么拿，偶数个数都会变回奇数。

不断这么操作，那么先手必胜。

偶数个奇数 且奇数个数>1

发现你不管怎么操作都会使对手有奇数个偶数，则先手必败。

偶数个奇数，且奇数个数为1

奇数为1的情况讨论过了。

发现你如果把偶数-1，对面就必胜了。

你只能把奇数-1，然后要全部除以一个偶数，并轮到对手。递归计算即可。

/*
Author: CNYALI_LK
LANG: C++
PROG: d.cpp
Mail: cnyalilk@vip.qq.com
*/
#include<bits/stdc++.h>
#define debug(...) fprintf(stderr,__VA_ARGS__)
#define DEBUG printf("Passing [%s] in LINE %d\n",__FUNCTION__,__LINE__)
#define Debug debug("Passing [%s] in LINE %d\n",__FUNCTION__,__LINE__)
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define x first
#define y second
using namespace std;
const double eps=1e-8;
const double pi=acos(-1.0);
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
template<class T>int chkmin(T &a,T b){return a>b?a=b,1:0;}
template<class T>int chkmax(T &a,T b){return a<b?a=b,1:0;}
template<class T>T sqr(T a){return a*a;}
template<class T>T mmin(T a,T b){return a<b?a:b;}
template<class T>T mmax(T a,T b){return a>b?a:b;}
template<class T>T aabs(T a){return a<0?-a:a;}
#define min mmin
#define max mmax
#define abs aabs
int read(){
    int s=0,base=1;
    char c;
    while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')base=-base;
    while(isdigit(c)){s=s*10+(c^48);c=getchar();}
    return s*base;
}
int a[102424],n;
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
int solve(){
    int xs=1,zs;
    while(1){
        zs=0;
        for(int i=1;i<=n;++i)if(a[i]==1)zs=1;
        if(zs){
            for(int i=1;i<=n;++i)xs=xs^((a[i]-1)&1);
            return !xs;
        }
        for(int i=1;i<=n;++i)if(!(a[i]&1))++zs;
        if(zs&1)return xs;
        else if(n-zs>1)return !xs;
        int g=0;
        for(int i=1;i<=n;++i){
            if(a[i]&1)--a[i];
            g=gcd(g,a[i]);
        }
        for(int i=1;i<=n;++i)a[i]/=g;
        xs^=1;
    }
}
int main(){
#ifdef cnyali_lk
    freopen("d.in","r",stdin);
    freopen("d.out","w",stdout);
#endif
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read();
    printf(solve()?"First\n":"Second\n");
    return 0;
}