Miller_Rabin--大素数判定算法

一篇很好的Miller_Rabin讲解博客 费马小定理：对于一个素数\(p\)，对于任意整数\(a\)，若\(\gcd(a,b)=1\)，则\(a^{p-1}\equiv1(mod p)\) 如果要判断p是不是素数，就每次在\([2,p-1]\)中随机x，如果\(x^{p-1}\not\equiv1\)则p不是素数。 但这还不够精确。 二次探测定理，对于一个奇素数\(p\)，如果\(a^2\equiv1(mod p)\)，则\(a\equiv1(mod p)\)或\(a \equiv p-1 (mod p)\) 我们可以把\(p-1\)分解成\(2^t*u\)，然后令\(x[0]=a^u mod p\)，\(x[i]=x[i-1]^2 mod p\)，则\(x[t]=a^{p-1}\)如果\(x[i]=1\)，则\(x[i-1]\)一定等于\(1\)或\(p-1\)，否则p不为素数。如果\(x[t]\neq 1\)，\(p\)同样不为素数。

当然2要特判。 每次判断错误率为\(\frac{1}{4}\)，判断\(s\)次后错误率为\((\frac{1}{4})^{s}\)。 时间复杂度\(O(slog_3n)\) 如果p大，则乘法要用"类快速幂"计算。

long long x;
long long f[128];
long long bigrand(long long l,long long r){
    return (((long long)rand()<<31)+rand())%(r-l+1)+l;
}
long long mul(long long a,long long b,long long p){
    long long c=0;
    while(b){
        if(b&1)c=(c+a)%p;
        a=(a+a)%p;
        b>>=1;
    }
    return c;
}
long long fpm(long long a,long long b,long long p){
    long long c=1;
    while(b){
        if(b&1)c=mul(c,a,p);
        a=mul(a,a,p);
        b>>=1;
    }
    return c;
}
long long Miller_Rabin(long long x){
    long long y=x-1,t=0;
    if(x==2)return 1;
    while(!(y&1)){y>>=1;++t;}
    up(i,1,128){
        long long k=bigrand(2,x-1);
        f[0]=fpm(k,y,x);

        up(j,1,t){
            f[j]=mul(f[j-1],f[j-1],x);
            if(f[j]==1&&f[j-1]!=1&&f[j-1]!=x-1){
                return 0;
            }
        }
        if(f[t]!=1)return 0;
    }
    return 1;
}
int main(){
    long long n;
    srand(2333);
    n=read();
    while(n){
        --n;
        x=read();
        if(Miller_Rabin(x)){
            printf("Yes\n");
        }
        else printf("No\n");

    }
    return 0;
}